Nacido en Londres, Inglaterra, Martin, tuvo el apoyo de su familia en el desarrollo de su talento artístico desde muy pequeño, ya que a los 7 años comenzó a asistir al drama de teatro infantil de Anna Scher.
Sin embargo, su carrera musical surgió por un giro del destino, ya que su hermano Gary participaba en una banda que quedó sin su bajista, a lo que Martin, tomó la iniciativa de aprender a tocar este instrumento en solo tres meses.
Desde ese momento Kemp, se hizo parte de lo que hoy conocemos como Spandau Ballet, banda que luego de 38 años pierde a su vocalista Tony Hadley, quien comenzó una carrera solista.
La banda, por su parte, ha tomado la postura de seguir juntos, integrando a un nuevo vocalista, Ross Wild desde el año pasado
